1.3.1 不等式的性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 知识 目标 1.利用等式的性质，初步学会作差法比较两实数(代数式)的大小．　2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 素养 目标 通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养和数学运算素养. 知识点一　实数大小比较的基本事实 问题1.一般认为，民用住宅的窗户面积x m2必须小于地板面积y m2，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积l m2和地板面积l m2，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？你能将这种关系用含字母x，y，l的不等式表示出来吗？ 提示：公寓的采光效果变好了．能.用不等式表示为：>. 学生用书↓第26页 实数大小比较的基本事实 基本 事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a>b a>b⇔a－b>0 如果a－b等于0，那么a＝b a＝b⇔a－b＝0 如果a－b是负数，那么a<b a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 [微提醒]　(1)比较两实数(代数式)的大小常用作差法，作差后需对差式进行恒等变形，常采用配方、因式分解、有理化、通分等方法，直到能明显判断出其正负号(通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积或商的形式)为止．(2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (1)(链教材P25例1)已知m，n∈R，设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，比较a与b的大小； (2)(链教材P25例2)试证明：若x<y<0，则(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 解：(1)a－b＝(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2 ＝m2n2＋4m2＋n2＋4－m2n2－4mn－4＝4m2＋n2－4mn＝(2m－n)2≥0， 所以a－b≥0，即a≥B． (2)证明：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)＝－2xy(x－y)， 因为x<y<0，所以xy>0，x－y<0， 所以－2xy(x－y)>0， 所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 　 作差法比较(或证明)大小的四个步骤 　 对点练1.(1)已知a>0，试比较a与的大小． (2)试证明：若a，b为实数，则2a2＋b2＋1≥ab＋2A． 解：(1)因为a－＝＝，又因为a>0，a＋1>0， 所以当a>1时，>0，所以a>； 当a＝1时，＝0，所以a＝； 当0<a<1时，<0，所以a<. 综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝；当0<a<1时，a<. (2)证明：2a2＋b2＋1－ab－2a＝2＋(a－1)2≥0，当且仅当a＝1，b＝2时取等号． 所以2a2＋b2＋1≥ab＋2A． 知识点二　不等式的性质 问题2.你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a＋c＝b＋c； (4)如果a＝b，那么ac＝bC． 提示：(1)如果a>b，那么b<a； (2)如果a>b，b>c，那么a>c； (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c； (4)如果a>b，若c>0，那么ac>bc，若c<0，那么ac<bC． 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 如果a>b，且b>c，那么a>c 不可逆 2 可加性 如果a>b，那么a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 (1)如果a>b，c>0，那么ac>bc； (2)如果a>b，c<0，那么ac<bc c的符号 学生用书↓第27页 4 同向可 加性 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d 同向 5 同向同正 可乘性 (1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bD．特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2 是否变号 6 可开 方性 当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2 同正 [微思考]　(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？ (2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ (3)若a与b同号，且a>b，那么<吗？ 提示：(1)不一致，同向不等式相乘时各项均为正数． (2)不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． (3)若a与b同号，即当ab>0时，a>b⇔<. 已知a，b，c，d∈R，则下列命题中一定成立的是(　　) A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则a＋b＋c>c C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a<b，则> 答案：B 解析：对于A，a>b，c>b，取a＝2，b＝1，c＝3，则a<c，故A错误；对于B，若a>－b，则a＋b>0，所以a＋b＋c>c，故B正确；对于C，若a>b，c>d，取a＝2，b＝0，c＝－2，d＝－4，则ac<bd，故C错误；对于D，若a<0<b，则<，故D错误．故选B． (链教材P26例3)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 证明：因为c<d<0，所以－c>－d>0. 又因为a>b>0，所以a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即a－c>b－d>0，所以0<<. 又因为e<0，所以>. 1．利用不等式的性质判断命题真假的方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． (3)作差法：将结论移项作差后，判断符号． 2．利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．　　 对点练2.(2024·河北邯郸高一质量检测)已知a>b>0>c>d，则下列不等关系成立的是(　　) A．ac2>bc2 B．a－d>b－c C．ad<bc D．> 答案：ABC 解析：对于A，因为a>b>0>c>d，所以c2>0，a>b>0，则ac2>bc2，故A正确；对于B，因为c>d，所以－d>－c，又a>b，所以a－d>b－c，故B正确；对于C，因为d<c<0，所以－d>－c>0，又因为a>b>0，所以－ad>－bc，故ad<bc，故C正确；对于D，取a＝2，b＝1，c＝－1，则＝<＝，故D错误．故选ABC． 对点练3.若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤. 证明：－＝＝， 因为bc－ad≥0，bd>0， 所以≤0， 所以≤. 学生用书↓第28页 利用不等式的性质求代数式的取值范围 已知－1<x<4，2<y<3. (1)求x－y的取值范围； (2)求3x＋2y的取值范围． 解：(1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2， 所以－4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6， 所以1<3x＋2y<18. [变式探究] 1．(变条件)若将本例条件改为－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围． 解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， 则所以 即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)， 又因为－1<x＋y<4，2<x－y<3， 所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<， 所以－<(x＋y)＋(x－y)<， 即－<3x＋2y<， 所以3x＋2y的取值范围为. 2．(变结论)本例的条件不变，求的取值范围． 解：因为2<y<3，所以<<， 又因为－1<x<4，所以当－1<x<0时，－<<0，当x＝0时，＝0，当0<x<4时，0<<2， 所以的取值范围为. 利用不等式的性质求取值范围的策略 1．建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． 2．同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． [注意]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地先分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．　　 对点练4.已知1<a＋b<3，－2<a－b<2，求2a＋3b的取值范围． 解：设2a＋3b＝m(a＋b)＋n(a－b)，则 解得m＝，n＝－， 所以2a＋3b＝(a＋b)－(a－b)， 因为1<a＋b<3，－2<a－b<2， 所以<(a＋b)<，－1<－(a－b)<1， 所以<(a＋b)－(a－b)<， 即<2a＋3b<， 所以2a＋3b的取值范围为. 知识 1.等式的性质及其应用.2.不等式的性质及其应用 方法 作差法、配方法、性质法、取特殊值法、待定系数法 易错误区 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性 1．设P＝a(2a＋5)，Q＝(2a＋1)(a＋2)，则(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．P与Q的大小与a有关 答案：C 解析：因为P－Q＝a(2a＋5)－(2a＋1)(a＋2)＝2a2＋5a－(2a2＋5a＋2)＝－2<0，所以P<Q.故选C． 2．[多选题]已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> 答案：BC 解析：对于A, 当 a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2 时， ac＝bd，故A错误；对于B, 若 ab>0，bc－ad>0, 则－>0, 即 －>0，故B正确；对于C, 若 a>b，c>d, 则 －d>－c，则有 a－d>b－c，故C正确；对于D, 当 a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1 时， ＝＝－1，故D错误．故选BC． 3．(开放题)“设a，b，c是任意实数，若a<b，则ac<bc”是假命题，写出一个符合题意的c的值为__________． 答案：0(答案不唯一) 解析：若“设a，b，c是任意实数，若a<b，则ac<bc”是真命题，由不等式的性质可知c>0.所以若“设a，b，c是任意实数，若a<b，则ac<bc”是假命题，则c≤0.所以符合题意的c的值可为0(答案不唯一)． 4．已知60<x<84，28<y<33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________． 答案：{x－y|27<x－y<56}　 解析：因为28<y<33，所以－33<－y<－28.又因为60<x<84，所以27<x－y<56.由28<y<33，得<<，即<<3. 课时测评9　不等式的性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知x∈R，A＝(x＋2)(x－3)，B＝2x(x－1)，则(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．A>B B．A＝B C．A<B D．A，B的大小关系与x的取值有关 答案：C 解析：因为A＝x2－x－6，B＝2x2－2x，所以B－A＝x2－x＋6＝2＋>0，即A<B．故选C． 2．若a>b，c>d，则下列不等式中必然成立的一个是(　　) A．a－d>b－c B．ac>bd C．> D．a2＋c2>b2＋d2 答案：A 解析：对于A，因为c>d，所以－d>－c，又因a>b，所以a－d>b－c，故A正确；对于B，当a＝2，b＝0，c＝－1，d＝－2时，ac＝－2<0＝bd，故B错误；对于C，当a＝0，b＝－1，c＝－1，d＝－2时，＝0<1＝，故C错误；对于D，当a＝0，b＝－1，c＝－1，d＝－2时，a2＋c2＝1<5＝b2＋d2，故D错误．故选A． 3．[多选题]若a<0<b，且a＋b>0，则(　　) A．>－1 B．＋>0 C．|a|<|b| D．(a－1)(b－1)<0 答案：AC 解析：对于A，因为a<0<b，且a＋b>0，所以b>－a>0，可得0<－<1，即－1<<0，故A正确；对于B，＋＝<0，故B错误；对于C，a<0<b即|a|＝－a，|b|＝b，由a＋b>0可得|b|>|a|，故C正确；对于D，因为当a＝－，b＝时，(a－1)(b－1)>0，故D错误．故选AC． 4．若条件p：b<a<0，则下列条件中是条件p的必要条件的有(　　) 条件q：a＋b<ab; 条件r：ac2>bc2(c∈R)； 条件s：b2<a2; 条件t：< A．条件q和条件r B．条件q和条件t C．条件s和条件t D．条件r和条件t 答案：B 解析：对于条件q：因为b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以有a＋b<0<ab，即条件q正确，所以条件q是条件p的必要条件；对于条件r：若c＝0，则ac2＝bc2＝0，即条件r不正确，所以条件r不是条件p的必要条件；对于条件s：因为b<a<0，所以0<－a<－b，所以(－a)2<(－b)2，即a2<b2，即条件s不正确，所以条件s不是条件p的必要条件；对于条件t：－＝.因为b<a<0，所以b－a<0，ab>0，所以<0，－<0，所以<，即条件t正确，所以条件t是条件p的必要条件．故选B． 5．(新情境)[多选题]十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号表示不等关系，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则a＋>b＋ B．若m>n>0，则< C．如果c>a>b>0，那么> D．a≥b>－1，则≥ 答案：BCD 解析：对于A，a>b>0，a＋－＝(a－b)，无法判断正负，故A错误；对于B，m>n>0，－＝＝<0，所以<，故B正确；对于C，c>a>b>0，－＝＝>0，即>，故C正确；对于D，a≥b>－1，－＝≥0，即≥，故D正确．故选BCD． 6．比较大小：－________－(用“>”或“<”填空)． 答案：> 解析：要比较－与－的大小关系，即比较＋与＋的大小关系，(＋)2－(＋)2＝2－2>0，即(＋)2>(＋)2⇔＋>＋，所以－>－. 7．(1)已知－1≤a<b≤3，则a－b的取值范围是________； (2)已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，则4a－2b的取值范围是________． 答案：(1)[－4，0)　(2)[5，10] 解析：(1)因为－1≤a<b≤3，所以－1≤a<3，－3≤－b<1，所以－4≤a－b<4，又a<b，所以a－b<0，即－4≤a－b<0. (2)令 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，则 解得 因为1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，所以5≤4a－2b≤10. 8．(开放题)写出满足a>b且>的一组数对(a，b)＝________． 答案：(1，－1)(答案不唯一，a>0，b<0即可) 解析：根据a>b且>可得a>0，b<0.故答案可以为(1，－1)(答案不唯一，a>0，b<0即可)． 9．(10分)(1)阅读材料： x克糖水中有y克糖(x＞y＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼出一个不等式；(4分) (2)请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：＋＋<2.(6分) 解：(1)糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度增加了，故<. (2)证明：因为a，b，c是三角形的三边，则b＋c>a>0， 由材料(1)知，<＝， 同理<，<， 所以＋＋<＋＋＝＝2， 所以原不等式成立． (10—12每小题5分，共15分) 10．已知0<a<2<b，则下列不等式一定正确的是(　　) A．b－a>2 B．ab>1 C．<1 D．a＋b>2 答案：D 解析：对于A，若b＝3，a＝1，满足0<a<2<b，但是b－a＝2，故A错误；对于B，若b＝2.1，a＝0.1，满足0<a<2<b，但是ab＝0.21<1，故B错误；对于C，因为0<a<2<b，所以>1，故C错误；对于D，因为0<a<2<b，所以a＋b>2＋a>2，故D正确．故选D． 11．[多选题]下列说法中正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b>1，则> C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若－2<a<4，1<b<3，则－5<a－b<3 答案：AD 解析：对于A，因为ac2>bc2成立，所以c2>0，则a>b，故A正确；对于B，因为a>b>1，所以a－1>b－1>0，所以<，故B不正确；对于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但ac＝bd，故C不正确；对于D，因为1<b<3，所以－3<－b<－1，又－2<a<4，所以－5<a－b<3，故D正确．故选AD． 12．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，D．已知a＋b＝c＋d，a＋c<b，a＋d>b＋c，则这四个小球由重到轻的排列顺序是__________． 答案：d>b>a>c 解析：因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以2a>2c，即a>c，所以b<D．又因为a＋c<b，所以a<b，所以c<a<b<d，所以这四个小球由重到轻的排列顺序是d>b>a>C． 13．(15分)月饼是中华传统特色节日糕点．某食品工坊推出冰流酥月饼和青红丝月饼两款新品，已知冰流酥月饼每个售价为x元，青红丝月饼每个售价为y元，销售数量为a个或b个，且0<x<y，0<a<B．销售结果如下： 一、冰流酥月饼销售数量为a个，青红丝月饼销售数量为b个； 二、冰流酥月饼销售数量为b个，青红丝月饼销售数量为a个． 试问：哪一种销售结果的销售收入更好？请说明理由． 解：第一种销售结果的收入为S1＝ax＋by(元)， 第二种销售结果的收入为S2＝ay＋bx(元)， 则S2－S1＝ay＋bx－(ax＋by)＝a(y－x)＋b(x－y)＝(y－x)(a－b)， 因为x<y，a<b，所以(y－x)(a－b)<0，即S2<S1， 所以第一种销售结果的销售收入更好． 14．(5分)(开放题)已知三个不等式：①ab>0，②>，③bc>ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成________个真命题． 答案：3 解析：由不等式性质，得⇒⇒bc>ad；⇒>；⇒⇒ab>0.故可组成3个真命题． 15．(15分)甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1 s，t2 s．甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且m≠n. (1)请用含m，n的代数式表示甲、乙两人所用的时间t1和t2；(5分) (2)比较t1与t2的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B地．(10分) 解：(1)设A地到B地的路程为s m， 因为甲有一半的时间以m m/s的速度行走，另一半的时间以n m/s的速度行走， 所以t1×m＋t1×n＝s，所以t1＝. 因为乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走， 所以t2＝＋＝＝. (2)t1－t2＝－＝ ＝－＝－， 因为m≠n，所以(m－n)2>0， 因为s>0，mn>0，m＋n>0，所以－<0， 所以t1<t2，所以甲先到达B地． 学生用书↓第29页 学科网（北京）股份有限公司 $$