1.1 集合及其表示与集合间的关系-2025版河北省中职生对口升学考试数学复习教材

1. 1　 集合及其表示、集合间的关系 !"#$ 1. 了解集合概念; 2. 理解元素与集合之间的关系,能正确使用符号表示元素与集合之间的关系; 3. 掌握常用数集的字母表示; 4. 初步掌握列举法和描述法等集合的表示方法; 5. 理解集合之间的包含与相等、子集与真子集的含义,能识别给定集合的子集、真子集,熟练判断集合 与集合间的关系. 1.集合及元素 (1) 定义 集合(简称为集):由某些确定的对象组成的整体. 元素:组成这个集合的对象称为这个集合的元素. ⌀(空集):不含任何元素的集合. 　 集合中元素的特性 确定性(每个对象可以确定是或不是集合的元素) 互异性({1,2,2,3,3,3} 正确的表示为{1,2,3}) 无序性({1,2,3} 与{3,2,1} 表示的是同一个集合) ì î í ï ï ïï (2) 集合与元素的表示及关系 元素 集合(集) 表示 a,b,c A,B,C 关系 a ∈ A(a 是 A 中的元素) 或 a ∉ A(a 不是 A 中的元素) 　 元素与集合的关系只有两种: ∈ 和 ∉. 若集合 A = {1,2,3},则 1 ∈ A,0 ∉ A. 1 2.集合的表示方法 (1) 列举法 把集合的所有元素一一列举出来,写在花括号“{}” 内. 集合{1,2,3} 表示只有元素 1,2,3 的集合. (2) 描述法 {x | x 所具有的特征性质},其中 x 为集合的代表元素. {x | x ≥ 0} 表示所有大于等于 0 的实数组成的集合. 3.集合间的关系 子集 真子集 集合相等 概念 集合 A 中的每一个元素都是集合 B 的元素 集合 A ⊆ B,但存在 x ∈ B,且x ∉ A 集合 A 的元素与集合 B 的元素相同 记法 A ⊆ B 或 B ⊇ A A ⫋ B 或 B ⫌ A A = B 读法 “A 包含于 B”(或“B 包含 A”) “A 真包含于 B”(或“B 真包含 A”) “集合 A 等于 B” 图示 已知集合 A = {1,2},B = {1,2,3},C = {1},D = {2,1},则 A ⫋ B:集合 A 中的所有元素 1,2 都是集合 B 的元素,且 3 ∉ A,3 ∈ B. A ⫌ C:集合 C 中的所有元素 1 是集合 A 的元素,且 2 ∉ C,2 ∈ A. A = D:集合 A 与集合 D 的元素相同,都为 1,2. A ⫋ B⇒A ⊆ B,A ⫌ C⇒A ⊇ C,A = D⇒ A ⊆ D, D ⊆ A.{ 　 ① 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. ② 任何一个集合是它本身的子集,即 A ⊆ A. ③ 对于集合 A,B,C,如果 A ⊆ B,且 B ⊆ C,那么 A ⊆ C. ④ 若集合 A 不是集合 B 的子集,记作 A ⊈ B 或 B ⊉ A. 4.常用数集及其关系 (1) 实数系 实数 有理数 整数 正整数 　 0 } 自然数(0,1,2,…) 负整数(…, - 3, - 2, - 1) ì î í ï ï ïï 分数 正分数 负分数{ } 有限小数或无限循环小数 ì î í ï ï ïï ï ï ïï 无理数 正无理数 负无理数{ } 无限不循环小数 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 2 (2) 常用数集及其关系 R(实数集) Q(有理数集) Z(整数集) N(自然数集) N∗ 或 N + (正整数集) 实数组成的集合 整数和分数组成的集合 {…, - 1,0,1,…} {0,1,2,…} {1,2,3,…} 　 　 R ⫌ Q ⫌ Z ⫌ N ⫌ N∗ . !"#$ 题型一:集合的判定 ! 1 以下对象的全体能构成集合的是 (　 　 ) A. 接近 5 的所有实数 B. 地球上的小河流 C. 1,2,3,4　 　 　 　 　 　 D. 高一(2) 班成绩好的同学 【解析】 接近 5,小河流,成绩好均没有确定的标准,所以接近 5 的所有实数、地球上的小河流、高一 (2) 班成绩好的同学均不能构成集合,故 A,B,D 不符合题意; 1,2,3,4 是确定的,且互不相同,能构成集合{1,2,3,4},故 C 符合题意. 【答案】 C 题型二:元素与集合的关系 ! 2 已知集合 A = {x | - 1 < x < 1},则下列选项正确的是 (　 　 ) A. - 3 ∈ A B. - 2 ∈ A C. 0 ∈ A D. 2 ∈ A 【解析】 集合 A = {x | - 1 < x < 1} 表示一定范围的数,在数轴上表示为 在数轴上描出表示实数 - 3, - 2,0,2 的点,如图所示. 故 0 ∈ A, - 3 ∉ A, - 2 ∉ A,2 ∉ A. 【答案】 C ! 3 已知集合 A = {0, - 1},则 - 1 与集合 A 的关系为 (　 　 ) A. - 1 ⊆ A B. - 1 ∈ A C. - 1 ⫋ A D. - 1 ∉ A 【解析】 由已知可得 - 1 是集合 A 中的元素. 又元素与集合之间的关系只能是 ∈ 或 ∉, ∴ - 1 ∈ A. 【答案】 B ! 4 下列元素与集合的关系表示不正确的是 (　 　 ) A. 1 ∈ N B. 1 ∈ Z C. 3 2 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集, 3 所以 1 ∈ N,1 ∈ Z, 3 2 ∈ Q,故 A,B,C 不符合题意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 符合题意. 【答案】 D ! 5 已知 3 ∈ {1,2,a - 1},则实数 a 的值为 . 【解析】 因为 3 ∈ {1,2,a - 1}, 所以 a - 1 = 3,即 a = 4. 【答案】 4 题型三:集合的表示方法 ! 6 小于 5 的自然数组成的集合用列举法表示正确的是 (　 　 ) A. {1,2,3,4} B. {0,1,2,3,4,4} C. {0,1,2,3,4} D. {0,1,2,3,4,5} 【解析】 易知小于 5 的自然数为 0,1,2,3,4, 所以小于 5 的自然数组成的集合用列举法表示为{0,1,2,3,4} . 因为同一个集合中的元素必须是互不相同的, 所以 B 不符合题意,C 符合题意. 【答案】 C ! 7 用描述法表示下列集合,并在数轴上表示出来. (1) 不等式 x ≤ 2 的解集; (2) 不等式 x > 2 的解集. 【解析】 (1) 不等式 x ≤ 2 的解集用描述法表示为{x | x ≤ 2} . 不等式“x ≤ 2” 的解集在数轴上表示时,在“2” 处画实心点,且在数轴上表示的点在 2 的左侧,如图 所示. (2) 不等式 x > 2 的解集用描述法表示为{x | x > 2} . 不等式“x > 2” 的解集在数轴上表示时,在“2” 处画空心点,且在数轴上表示的点在 2 的右侧,如图 所示. 　 数轴 ① 数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线. ② 数轴上的点与实数 一一对应. ③ 在数轴上,右边的点表示的数大,左边的点表示的数小,如图,B > A. 4 ! 8 已知集合 A = {1,a},B = {1,2,3,4},且 A ∩ B = {1,4},则 a = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 因为集合 A = {1,a},B = {1,2,3,4},且 A ∩ B = {1,4}, 所以集合 A 中必须含有元素 4, 所以 A = {1,4}, 所以 a = 4. 【答案】 D 题型四:集合间的关系 ! 9 设集合 A = {1,2,3,4},B = {1,2,3,a},且 A = B,则 a = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 由 A = B 知,集合 A = {1,2,3,4} 与 B = {1,2,3,a} 的元素相同, 所以 a = 4. 【答案】 D ! 10 已知集合 A = {1,2},若 A ⊆ B,则集合 B 可以是 (　 　 ) A. {1}　 B. {2} C. {0,1,2} D. ⌀ 【解析】 易得{1} ⫋ A,{2} ⫋ A,⌀ ⫋ A,A ⊆ {0,1,2} . 由子集的定义知,集合 A = {1,2} 中的元素 1,2 都是集合 B 的元素. 所以集合 B 可以是{0,1,2} . 【答案】 C ! 11 下列表达式中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∈ ⌀ B. {0} ∈ ⌀ C. ⌀ ⫋ {0} D. ⌀ ∈ {0} 【解析】 易知 ⌀ 是不含任何元素的集合, 所以 0 ∉ ⌀,故 A 不正确. 由空集是任何非空集合的真子集,{0} 是含有元素 0 的非空集合知,⌀ ⫋ {0},故 B,D 不正确,C 正确. 【答案】 C ! 12 设集合 M = {0,1,3},则 M 的子集的个数为 (　 　 ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 【解析】 集合 M ={0,1,3} 的子集有 ⌀,{0},{1},{3},{0,1},{0,3},{1,3},{0,1,3},共 8 个. 【答案】 D 1. 已知 M 是由 1,2,3 三个元素组成的集合,则集合 M 可表示为 (　 　 ) A. {x | x = 1} B. {x | x = 2} C. {1,2} D. {1,2,3} 5 2. 设集合 A = {x | x < 2},则 (　 　 ) A. 2 ∈ A B. 3 ∈ A C. 2 024 ∈ A D. 0 ∉ A 3. 下列各组对象能构成集合的是 (　 　 ) A. 学生中的跑步能手 B. 中国科技创新人才 C. 地球周围的行星 D. 唐宋散文八大家 4. 设集合 A = {x | x ≥- 1},则下列四个关系中正确的是 (　 　 ) A. 1 ∈ A B. 1 ∉ A C. {1} ∈ A D. 1 ⊆ A 5. 已知集合 A = {x ∈ Z | x < 3},则 (　 　 ) A. 2 ∈ A B. 3 ∈ A C. 0 ∉ A D. ⌀ ∈ A 6. 下列关系中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∉ ⌀ B. {0} ⊆ ⌀ C. 0 ⊆ ⌀ D. 0 ∈ ⌀ 7. 设集合 M = {1,2,3},N = {1},则下列关系中正确的是 (　 　 ) A. N ∈ M B. N ∉ M C. N ⊇ M D. N ⊆ M 8. 已知 A 是非空集合,则下列关系不正确的是 (　 　 ) A. A ⊆ A B. A ⫋ A C. ⌀ ⊆ A D. ⌀ ⫋ A 9. 下列元素与集合的关系表示正确的是 (　 　 ) A. 1 2 ∈ N B. 1 2 ∈ Z C. 1 3 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 10. 下列关系正确的是 (　 　 ) A. { - 1} ∈ { - 1,2} B. 3 ∉ R C. 1 ⊆ {x | 0 ≤ x ≤ 1} D. ⌀ ⊆ {0} 11. 设集合 A = {x | x > - 1},则 (　 　 ) A. ⌀ ∉ A B. - 2 ∉ A C. - 2 ∈ A D. { - 2} ⊆ A 12. 设集合 A = {1,2,3},则 A 的真子集的个数是 (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 13. 已知集合 A = {1,3, m },B = {1,2},B ⊆ A,则 m = . 14. 用列举法表示 11 以内的非负偶数构成的集合为 . 15. 用描述法表示不等式组 x + 1 > 0, 3x + 1 ≥ 4x - 2{ 的解集,并在数轴上表示出来. 6 第一章 　 集合与充要条件 1. 1　 集合及其表示、集合间的关系 1. D　 【解析】 因为集合 M 是由 1,2,3 三个元素组成的,所以用列举法表示集合 M = {1,2,3} . 2. B　 【解析】 因为集合 A = {x | x < 2} 表示所有小于 2 的实数组成的集合,所以 2 ∉ A,2 024 ∉ A,0 ∈ A, 3 ∈ A. 3. D　 【解析】 学生中的跑步能手, 中国科技创新人才, 地球周围的行星包含的对象都不确定, 不能构成集合. 唐宋散文八大 家分别为柳宗元、韩愈、欧阳修、苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩,能构成集合. 4. A　 【解析】 因为 A = {x | x ≥- 1} 表示所有不小于 - 1 的实数组成的集合,所以 1 是集合 A中的元素,即 1 ∈ A,故 A 正确, B,D 错误. {1} 是集合,且{1} ⊆ A,故 C 错误. 5. A　 【解析】 因为 A = {x ∈ Z | x < 3} = {…, - 2, - 1,0,1,2},所以 0,2 是集合 A 中的元素,3 不是集合 A 中的元素,所以 3 ∉ A,0 ∈ A,2 ∈ A,故 A 正确,B,C 错误. 因为 ⌀ 是集合,所以 ⌀ 与集合 A的关系不是属于关系,而是包含关系,即 ⌀ ⊆ A, 故 D 错误. 6. A　 【解析】⌀ 是不含任何元素的集合,故 A 正确,D 错误;⌀ 是集合{0} 的真子集,即 ⌀ ⫋ {0},故 B 错误;对于 C,元素与集 合之间的关系只能是属于或不属于,故 C 错误. 7. D　 【解析】 由集合 M = {1,2,3},N = {1} 知,集合 N 中的元素都在集合 M 中,但 2 ∈ M 且 2 ∉ N,所以 N ⊆ M,M ⊈ N. 8. B　 【解析】 因为 A 是非空集合,所以 A ⊆ A,⌀ ⊆ A,⌀ ⫋ A,但 A 不是 A 的真子集. 9. C　 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集,所以 1 2 ∉ N, 1 2 ∉ Z, 1 3 ∈ Q,故 A,B 不符合题意,C 符合题 意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 不符合题意. 10. D　 【解析】{ - 1} 和{ - 1,2} 都是集合,集合间不是“∈”“∉” 关系,A 错误;3 是实数,故 3 ∈ R,B 错误;1 是元素,且 1 ∈ {x | 0 ≤ x ≤ 1},C 错误;空集是任何集合的子集,D 正确. 11. B　 【解析】 空集和集合 A 都是集合,不是“∈”“∉” 关系,故 A 错误;因为 - 2 < - 1,A = {x | x > - 1},所以 - 2 ∉ A,故 B 正确,C 错误;由 - 2 ∉ A 知{ - 2} ⊈ A,故 D 错误. 12. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 的真子集有 ⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 13. 4　 【解析】 因为 A = {1,3, m},B = {1,2},B ⊆ A,所以 1,2 是集合 A 中的元素,所以 m = 2,解得 m = 4. 14. {0,2,4,6,8,10}　 【解析】11 以内的非负偶数有 0,2,4,6,8,10,所以 11 以内的非负偶数构成的集合为{0,2,4,6,8,10} . 15. 【解析】 由 x + 1 > 0 得 x > - 1. 由 3x + 1 ≥ 4x - 2 得 x ≤ 3. 所以不等式组 x + 1 > 0, 3x + 1 ≥ 4x - 2{ 的解集为{x | - 1 < x ≤ 3} . 791 不等式“x > - 1” 的解集在数轴上表示时,在“ - 1” 处画空心点,且在数轴上表示的点在 - 1 的右侧,不等式“x ≤ 3” 的解 集在数轴上表示时, 在“3” 处画实心点, 且在数轴上表示的点在 3 的左侧, 如图所示. 图中阴影部分表示不等式组 x + 1 > 0, 3x + 1 ≥ 4x - 2{ 的解集. 1. 2　 集合的运算 1. B　 【解析】∵ 集合 A = {1,2,3} 与 B = {1,3} 的所有公共元素为 1,3,∴ A ∩ B = {1,3} . 2. B　 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},所以∁UA = {1,3,5} . 3. B　 【解析】 因为集合 M = {b,c} 和 N = {c,d} 的所有公共元素为 c,所以 M ∩ N = {c} . 4. D　 【解析】∵ 集合 A = { - 1,0,1} 与集合 B = {0,2,4} 的所有元素为 - 1,0,1,2,4,∴ A ∪ B = { - 1,0,1,2,4} . 5. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},所以 A ∩ B = { - 2, - 1,0} . 6. D　 【解析】 因为集合 A = {0,1,2} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1,2,3} . 因 为同一个集合中的元素必须是互不相同的,所以 A 不符合题意. 7. C　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},所以 A ∪ B = {x | - 2 < x < 5} . 8. D　 【解析】 易得 A = {x | x2 - 7x < 0} = {x | x(x - 7) < 0} = {x | 0 < x < 7},则∁RA = {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} . 9. C　 【解析】 因为集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},集合 B = {x | 1 ≤ x < 3},所以 A ⊈ B,B ⊈ A,A ∩ B = {x | 2 < x < 3},A ∪ B = {x | 1 ≤ x ≤ 3},故 C 正确,A,B,D 不正确. 10. C　 【解析】 易知集合 M = { - 1,0,1,2} 中的所有元素为 - 1,0,1,2. 又 1,2 是 N = {x | 1 ≤ x ≤ 3} 中的元素, - 1,0 不是 集合 N = {x | 1 ≤ x ≤ 3} 中的元素,所以 M ∩ N = {1,2} . 11. A　 【解析】 由 A ∪ B = A 得 B ⊆ A,故 x 的值为 2 或 3. 12. D　 【解析】 因为 U = {x | x > - 2},A = {x | x - 1 > 0} = {x | x > 1},所以∁U A = ( - 2,1] . 13. C　 【解析】 因为 A = {x | x2 - x = 0} = {x | x(x - 1) = 0} = {0,1},B = {1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1} ∪ {1,2,3} = {0,1,2,3} . 14. 【解析】(1) 当 a = 4 时,B = {x | - 1 ≤ x ≤ 7} . 又 A = {x | x ≥ 1}, ∴ A ∪ B = {x | x ≥- 1} . (2) 当 B = ⌀ 时,3 - a > 3 + a,解得 a < 0. 当 B ≠ ⌀ 时, 3 - a ≤ 3 + a, 3 - a ≥ 1,{ 解得 0 ≤ a ≤ 2. 综上,实数 a 的取值范围为{a | a ≤ 2} . 891