专题04 椭圆及其方程（考点清单，知识导图+3个考点清单+题型解读）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

专题04 椭圆及其方程（考点清单，知识导图+3个考点清单+题型解读） 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 知识点03：椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质一 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 2、椭圆的简单几何性质二 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 注：以下选择题都是单选题 【题型一：椭圆的定义及其应用】 【例1】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【变式2-4】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【题型二：椭圆的简单几何性质】 【例1】（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆的焦距为（    ） A． B．4 C．8 D．16 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【变式2-3】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的上顶点、右顶点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【题型三：椭圆的离心率】 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点.若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆的两顶点，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【题型四：椭圆的标准方程】 【例1】（23-24高二上·北京海淀·期末）已知P为椭圆上的动点．，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·假期作业）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于，两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦距的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【题型五：椭圆中的焦点三角形】 【例1】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆，为其左右两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【变式2-2】（23-24高二上·辽宁·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【变式2-4】（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长的最大值为（    ） A．6 B．8 C．12 D．14 【变式2-5】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 椭圆及其方程（考点清单，知识导图+3个考点清单+题型解读） 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 知识点03：椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质一 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 2、椭圆的简单几何性质二 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 注：以下选择题都是单选题 【题型一：椭圆的定义及其应用】 【例1】（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 【变式2-4】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆得，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 【题型二：椭圆的简单几何性质】 【例1】（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆的焦距为（    ） A． B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】由椭圆的标准方程及焦距的定义即可得解. 【详解】由，得， 所以焦距为． 故选：A． 【变式2-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度. 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【分析】根据题意先求出c的值，根据椭圆方程的标准形式，求出m的值． 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 【变式2-3】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与勾股定理计算即可得. 【详解】由，结合题设有，， 由，则， 化简得，故的长轴长与焦距的比值为. 故选：D. 【变式2-4】（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的上顶点、右顶点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程可得，再由正切值定义计算可得结果. 【详解】化简可得，作出椭圆图象如下图所示： 则，易知为直角三角形， 所以. 故选：A 【题型三：椭圆的离心率】 【例1】（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解. 【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，， 因此， 又椭圆的离心率， 故选：A. 【变式2-1】（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的标准方程及其参数的关系即可得出结果. 【详解】设椭圆的半焦距为，则由题设得， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：C． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出，然后根据，利用勾股定理建立等式得到，两边同时除以得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】，，， 由题意：， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选：C 【变式2-3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知分别是椭圆的左､右焦点，是上一点.若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】因为，所以.又，所以， 则，解得，故椭圆的离心率为. 故选：A 【变式2-4】（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆的两顶点，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合勾股定理可得，运算求解即可. 【详解】因为为直角三角形，且，，， 由勾股定理可得，即， 整理得，两边同除以得，解得． 且，所以． 故选：B. 【题型四：椭圆的标准方程】 【例1】（23-24高二上·北京海淀·期末）已知P为椭圆上的动点．，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点的轨迹表示以为焦点的椭圆，进而求得的值. 【详解】因为，可得，则， 由椭圆的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的椭圆， 其中，可得，所以， 又因为点在椭圆，所以. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 【变式2-2】（24-25高二上·全国·假期作业）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，即可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 【变式2-3】（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于，两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，借助勾股定理，结合椭圆定义求出椭圆长轴长即可得解. 【详解】由过且垂直于轴的椭圆的弦长，得，而椭圆的焦距， 在中，，则长轴长， 因此，，短半轴长，所以椭圆的方程为：. 故选：C 【变式2-4】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦距的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，焦距为，根据焦点位置分类讨论，设出椭圆方程，结合题意列出方程组，即可求解. 【详解】由椭圆方程得两焦点坐标为，焦距为， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设其标准方程为， 所以①， 又椭圆经过点，所以②， 联立①②解得， 故所求椭圆的标准方程为. 当所求椭圆的焦点在轴上时，设其标准方程为， 所以③， 又椭圆经过点，所以④， 联立③④解得，故所求椭圆的标准方程为. 综上，所求椭圆的标准方程为或.故选：D. 【题型五：椭圆中的焦点三角形】 【例1】（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆，为其左右两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点相关三角形周长. 【详解】由题意，，而， 故的周长为. 故选：C 【变式2-1】（23-24高二上·江西·阶段练习）已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据焦点三角形的周长即可求解. 【详解】由椭圆方程可知，则， 所以是椭圆的焦点， 所以的周长为. 故选:.    【变式2-2】（23-24高二上·辽宁·期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 【变式2-3】（23-24高二上·山西大同·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积. 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故选：C 【变式2-4】（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长的最大值为（    ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，进行合理转化，求得周长最大值即可. 【详解】 由椭圆方程得， ，. 设椭圆的左焦点为， 则的周长为 当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号. , ，的周长最大值为.故选：D 【变式2-5】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$