【高中数学】4年(2021-2024)真题按章分类-12.选必1 第二章 直线和圆的方程

【 高中数学 】 4年高考真题·按册按章分类 2021—2024 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 32 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1 1 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 10 5 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 17 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 32 1 10 1 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 19 11 18 7.必修2 第七章 复数 23 5 8.必修2 第八章 立体几何初步 24 4 7 11 9.必修2 第九章 统计 4 3 3 10.必修2 第十章 概率 4 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 1 20 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 7 2 7 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 22 5 18 17 14.选必2 第四章 数列 13 1 7 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 7 9 29 16.选必3 第六章 计数原理 8 9 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 4 8 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 3 8 【高中数学人教A版(2019)】 4年高考真题-按章分类 ( 2021—2024 ) 选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 7个单选题 + 2个多选题 + 7个填空题 + 0个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·北京)已知直线(为常数)与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则( )     A. B. C. D. 2.(2022高考·北京)若直线是圆的一条对称轴，则(  ) A. B. C.1 D. 3.(2023高考·全国)已知实数满足，则的最大值是(  ) A. B.4 C. D.7 4.(2023高考·全国)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则(  ) A.1 B. C. D. 5.(2024高考·全国)已知直线与圆交于两点，则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 6.(2024高考·全国)已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D. 7.(2024高考·北京)圆的圆心到直线的距离为( ) A. B. C.4 D. 二、多选题 1.(2021高考·全国)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是(  ) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 2.(2021高考·全国)已知点在圆上，点、，则(  ) A.点到直线的距离小于 B.点到直线的距离大于 C.当最小时， D.当最大时， 三、填空题 1.(2021高考·天津)若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则__________. 2.(2022高考·全国)设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是__________. 3.(2022高考·全国)设点M在直线上，点和均在上，则的方程为__________. 4.(2022高考·全国)过四点中的三点的一个圆的方程为__________. 5.(2022高考·全国)写出与圆和都相切的一条直线的方程__________. 6.(2022高考·天津)若直线与圆相交所得的弦长为，则__________. 7.(2023高考·全国)已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__________. 【高中数学人教A版(2019)】 4年高考真题-按章分类 ( 2021—2024 ) 选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 7个单选题 + 2个多选题 + 7个填空题 + 0个解答题 参考答案及解析 一、单选题 1.C 由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，取得最小值为，解得。 2.A 由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得。 3.C 法一：令，则，代入原式化简得因为存在实数，则，即，化简得，解得，故 的最大值是。 法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值。 法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得。 4.B 方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以。 法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以。 方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得。 5.C 因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，，当时，的最小，此时. 6.C 因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 7.D 由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 二、多选题 1.ABD 圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，A正确。若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，B正确。若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，C错误。若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，D正确。 2.ACD 圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A正确，B错误。 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD正确。 三、填空题 1. 设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故。 2. 关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即。 3. 【方法一】：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为。 【方法二】：圆的几何性质，由题可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为。 4.或或或 【方法一】：圆的一般方程，依题意设圆的方程为， (1)若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即。 (2)若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即。 (3)若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即。 (4)若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 【方法二】：圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心) ，设 。 (1)若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为。 (2)若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为。 (3)若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为。 (4)若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为。 5.或或 【方法一】：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，， 【方法二】：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可。 【方法三】：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为， 6. 2 圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得。 7.(中任意一个皆可以) 设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或。 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【 高中数学 】 4年高考真题·按册按章分类 2021—2024 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 32 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1 1 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 10 5 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 17 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 32 1 10 1 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 19 11 18 7.必修2 第七章 复数 23 5 8.必修2 第八章 立体几何初步 24 4 7 11 9.必修2 第九章 统计 4 3 3 10.必修2 第十章 概率 4 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 1 20 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 7 2 7 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 22 5 18 17 14.选必2 第四章 数列 13 1 7 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 7 9 29 16.选必3 第六章 计数原理 8 9 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 4 8 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 3 8 【高中数学人教A版(2019)】 4年高考真题-按章分类 ( 2021—2024 ) 选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 7个单选题 + 2个多选题 + 7个填空题 + 0个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·北京)已知直线(为常数)与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则( )     A. B. C. D. 1.C 由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，则弦长为，则当时，取得最小值为，解得。 2.(2022高考·北京)若直线是圆的一条对称轴，则(  ) A. B. C.1 D. 2.A 由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得。 3.(2023高考·全国)已知实数满足，则的最大值是(  ) A. B.4 C. D.7 3.C 法一：令，则，代入原式化简得因为存在实数，则，即，化简得，解得，故 的最大值是。 法二：，整理得，令，，其中，则，，所以，则，即时，取得最大值。 法三：由可得，设，则圆心到直线的距离，解得。 4.(2023高考·全国)过点与圆相切的两条直线的夹角为，则(  ) A.1 B. C. D. 4.B 方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，可得，则，，即为钝角，所以。 法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，可得，则，因为且，则，即，解得，即为钝角，则，且为锐角，所以。 方法三：圆的圆心，半径，若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为，即，则，整理得，且设两切线斜率分别为，则，可得，所以，即，可得，则，且，则，解得。 5.(2024高考·全国)已知直线与圆交于两点，则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 5.C 因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，，当时，的最小，此时. 6.(2024高考·全国)已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D. 6.C 因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 7.(2024高考·北京)圆的圆心到直线的距离为( ) A. B. C.4 D. 7.D 由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 二、多选题 1.(2021高考·全国)已知直线与圆，点，则下列说法正确的是(  ) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 1.ABD 圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，A正确。若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，B正确。若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，C错误。若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，D正确。 2.(2021高考·全国)已知点在圆上，点、，则(  ) A.点到直线的距离小于 B.点到直线的距离大于 C.当最小时， D.当最大时， 2.ACD 圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A正确，B错误。 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD正确。 三、填空题 1.(2021高考·天津)若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则__________. 1. 设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故。 2.(2022高考·全国)设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是__________. 2. 关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即。 3.(2022高考·全国)设点M在直线上，点和均在上，则的方程为__________. 3. 【方法一】：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为。 【方法二】：圆的几何性质，由题可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为。 4.(2022高考·全国)过四点中的三点的一个圆的方程为__________. 4.或或或 【方法一】：圆的一般方程，依题意设圆的方程为， (1)若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即。 (2)若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即。 (3)若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即。 (4)若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 【方法二】：圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心) ，设 。 (1)若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为。 (2)若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为。 (3)若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为。 (4)若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为。 5.(2022高考·全国)写出与圆和都相切的一条直线的方程__________. 5.或或 【方法一】：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故①，于是或，再结合①解得或或，所以直线方程有三条，分别为，， 【方法二】：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可。 【方法三】：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为， 6.(2022高考·天津)若直线与圆相交所得的弦长为，则__________. 6. 2 圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得。 7.(2023高考·全国)已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__________. 7.(中任意一个皆可以) 设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或。 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$