2024年高考物理真题问题模型讲义之二——电磁感应中的含电容问题

2024高考真题问题模型讲义之二 ——电磁感应中的含电容问题 一、问题概述 高考电磁感应试题中常常涉及含有电容器的问题，这类问题往往综合性比较强,既可以属于电磁感应的动力学问题,也可以涉及动量、能量问题。像2024全国甲卷的第25题、2024海南卷的第13题、2024北京卷第20题。这类问题常见的有以下三种类型 1、无外力充电式 基本模型 规律 (导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C) 电路特点 导体棒相当于电源，电容器充电 电流特点 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器充电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，棒匀速运动 运动特点和最终特征 棒做加速度a减小的减速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零 最终速度 电容器充电电荷量：q＝CUC 最终电容器两端电压UC＝BLv 对棒应用动量定理： mv－mv0＝－BL·Δt＝－BLq v＝ 二、无外力放电式 基本模型 规律 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C) 电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动 电流特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLvm 运动特点及最终特征 做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0 最大速度vm 电容器初始电荷量： Q0＝CE 放电结束时电荷量： Q＝CUC＝CBLvm 电容器放电电荷量： ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm 对棒应用动量定理： mvm－0＝BL·Δt＝BLΔQ vm＝ 三、有外力无初速度 基本模型 规律 (轨道水平光滑，导体棒质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定，，电容器电容为C) 电路特点 电容器充电，导体棒相当于电源；导体棒受恒力F而运动 电流特点 电容器充电时，导体棒在恒力作用下开始运动，速度越来越大，导致电流越来越大 运动特点及最终特征 做匀加速运动 分析 设导体棒到达速度大小为v时经历的时间为t，通过导体棒的电流为i，导体棒受到的磁场力为   设在时间间隔内流经金属棒的电荷量为，按定义有    也是电容器极板在时间间隔内增加的电荷量，由得  为金属棒的速度变化量，按定义有 二、典例分析 例1．（2024·海南卷）（多选）两根足够长的导轨由上下段电阻不计，光滑的金属导轨组成，在M、N两点绝缘连接，M、N等高，间距L = 1m，连接处平滑。导轨平面与水平面夹角为30°，导轨两端分别连接一个阻值R = 0.02Ω的电阻和C = 1F的电容器，整个装置处于B = 0.2T的垂直导轨平面斜向上的匀强磁场中，两根导体棒ab、cd分别放在MN两侧，质量分为m1 = 0.8kg，m2 = 0.4kg，ab棒电阻为0.08Ω，cd棒的电阻不计，将ab由静止释放，同时cd从距离MN为x0 = 4.32m处在一个大小F = 4.64N，方向沿导轨平面向上的力作用下由静止开始运动，两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，碰撞前瞬间撤去F，已知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，g = 10m/s2（   ） A．ab从释放到第一次碰撞前所用时间为1.44s B．ab从释放到第一次碰撞前，R上消耗的焦耳热为0.78J C．两棒第一次碰撞后瞬间，ab的速度大小为6.3m/s D．两棒第一次碰撞后瞬间，cd的速度大小为8.4m/s 【解析】由于金属棒ab、cd同时由静止释放，且恰好在M、N处发生弹性碰撞，则说明ab、cd在到达M、N处所用的时间是相同的，对金属棒cd和电容器组成的回路有Δq = C·BLΔv 对cd根据牛顿第二定律有F－BIL－m2gsin30° = m2a2，其中，，联立有 则说明金属棒cd做匀加速直线运动，则有，联立解得a2 = 6m/s2，t = 1.2s，故A错误； 由题知，知碰前瞬间ab的速度为4.5m/s，则根据功能关系有，金属棒下滑过程中根据动量定理有，其中，R总 = R＋Rab = 0.1Ω，联立解得q = 6C，xab = 3m，Q = 3.9J 则R上消耗的焦耳热为，故B正确；由于两棒恰好在M、N处发生弹性碰撞，取沿斜面向下为正，有m1v1－m2v2 = m1v1′＋m2v2′，，其中v2 = a2t = 7.2m/s 联立解得v1′ = －3.3m/s，v2′ = 8.4m/s，故C错误、D正确。 例2（2024·北京卷）如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。 （1）求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I； （2）求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a； （3）在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。 【解析】（1）开关闭合前电容器的电荷量为Q，则电容器两极板间电压 开关闭合瞬间，通过导体棒的电流 解得闭合开关瞬间通过导体棒的电流为 （2）开关闭合瞬间由牛顿第二定律有 将电流I代入解得 （3）由（2）中结论可知，随着电容器放电，所带电荷量不断减少，所以导体棒的加速度不断减小，其v-t图线如图所示。 例2．（有外力充电式）（2024·全国甲卷）如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置处于竖直方向且磁感应强度为B的匀强磁场中。 (1)开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。 (2)当金属棒速度为v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。 【解析】（1）开关S闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则 由闭合电路欧姆定律 金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 联立可得，恒定的外力为 在加速阶段，外力的功率为 定值电阻的功率为 若时，即 化简可得金属棒速度v的大小为 （2）断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，则有 当金属棒匀速运动时，电容器不断充电，电荷量q不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒所受安培力不断减小，而拉力的功率 定值电阻功率 当时有 可得 根据 可得此时电容器两端电压为 从开关断开到此刻外力所做的功为 其中 联立可得 三、类题演练 1.（2017·天津卷）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C．两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN开始向右加速运动．当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问： （1）磁场的方向； （2）MN刚开始运动时加速度a的大小； （3）MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少． 【答案】（1）垂直于导轨平面向下；（2）（3） 【解析】（1）电容器充电后上板带正电，下板带负电，放电时通过MN的电流由M到N，欲使炮弹射出，安培力应沿导轨向右，根据左手定则可知磁场的方向垂直于导轨平面向下． （2）电容器完全充电后，两极板间电压为E，根据欧姆定律，电容器刚放电时的电流： 炮弹受到的安培力： 根据牛顿第二定律： 解得加速度 （3）电容器放电前所带的电荷量 开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vm时，MN上的感应电动势： 最终电容器所带电荷量，导体棒运动过程中受到安培力的作用，磁感应强度和导体棒长度不变，即安培力和电流成正比，因此在此过程中MN的平均电流为，MN上受到的平均安培力： 由动量定理，有： 又： 整理的：最终电容器所带电荷量 2.（多选）（2024·山西阳泉·三模）如图所示，间距均为d的倾斜金属导轨与水平金属导轨在两点用绝缘材料平滑连接，使和和彼此绝缘。在平面内存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度为的匀强磁场，在平面存在竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场。在间连接一电容为C的电容器和一个自感系数为L的电感线圈，在间接一小灯泡。开始时，开关S断开，一质量为m、长为d的金属棒在倾斜导轨上从距水平地面高为h的位置由静止释放，不计导轨和金属棒的电阻及一切摩擦，已知重力加速度为g，电容器的耐压值足够高。则下列说法正确的是（　　） A．金属棒在倾斜导轨上下滑时做变加速运动，在水平导轨上做匀减速运动 B．金属棒进入区域后，立刻闭合开关S，此时通过L的电流最大 C．金属棒刚到达时，速度大小为 D．在整个过程中，小灯泡产生的内能为 【答案】CD 【解析】金属棒在倾斜导轨上由静止释放，则金属棒做加速下滑，金属棒切割磁感线产生感应电动势为，由于对电容器充电，则电路中有电流产生，金属棒受到安培力作用，方向与金属棒运动方向相反。电容器所带的电荷量为，电容器充电电流为 设倾斜金属导轨平面与水平面夹角为θ，对金属棒由牛顿第二定律可得 解得，由于m、θ、C、、d都是定值，则加速度a是定值，可知金属棒在倾斜导轨上做匀加速运动，金属棒在水平导轨上做切割磁感线运动产生感应电动势，产生感应电流，金属棒受到安培力作用，安培力与金属棒运动方向相反，安培力对金属棒产生加速度，使金属棒做减速运动，设小灯泡的电阻为R，则安培力为，一方面小灯泡的电阻R随温度变化，另外，金属棒最后做减速运动，则不是定值，则安培力是变力，因此金属棒做变加速运动，故A错误；金属棒进入DEFG区域后，闭合开关S后，电容器与电感线圈组成LC振荡电路，由LC振荡电路中的振荡电流特点，在闭合开关S瞬间，通过L的电流是零最小，故B错误；由速度位移关系公式可得，金属棒在进入DEFG区域时的速度大小为故C正确；在整个过程中，小灯泡产生的内能为，故D正确。 3.（2024·湖南长沙·三模）如图所示，导轨MN、PQ足够长，与水平面夹角为θ，两导轨上端接有电阻和电容器，R、C分别表示电阻的大小和电容的大小，P处连有一单刀双掷开关S，两导轨平行且相距为L，整个装置处在垂直于该平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，质量为m、长为L的导体棒ab在外力作用下垂直静置于导轨上（导体棒电阻不计），ab与导轨间的动摩擦因数为，重力加速度为g，ab与导轨间接触始终良好。 （1）将单刀双掷开关S置于1，ab从静止释放（撤去外力），经时间t刚好达到最大速度，求这个过程中R产生的焦耳热； （2）将单刀双掷开关S置于2，ab从静止释放（撤去外力），试判断ab的加速度是否恒定，请详细说明推理过程； （3）将单刀双掷开关S置于2，ab从静止释放（撤去外力），ab沿导轨下滑距离为s时，求电容器所带电荷量。 【解析】（1）当S置于1，导体棒的速度达到最大时，合外力为零，对导体棒受力分析，如图所示 根据平衡条件可得 由闭合电路欧姆定律得 由法拉第电磁感应定律得 解得 由动量定理得 ，， 解得 由能量守恒得R产生的热量为 （2）取极短的时间有，，，联立解得 由牛顿第二定律得 解得，a为定值，故ab的加速度恒定； （3）根据速度位移关系可得 解得 根据电容器的电容的定义式可得 解得 学科网（北京）股份有限公司 $$