专题14 几何图形内的十字架模型-【浙江新中考】2024年中考数学常见几何模型专项复习讲义

专题14 几何图形内的十字架模型 知识梳理 “十字架模型”在特殊的四边形问题中的翻折问题中是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都经常考到，主要是利用全等或相似将题目中所求线段转化为易求线段，或者是利用线段相等得到其位置关系，今天咱们就一起来认识正方形中的“十字架模型”。 “十字架模型”是数学平面几何中比较重要的一个模型,常见的类型有正方形中的十字架和矩形中的十字架。 围绕着这两种模型的条件之下，可以推导出一些比较实用的结论。这些结论对我们分析一些几何问题会有比较大的帮助。 模型分析 模型：矩形内的十字架模型 1、 十字架模型概念：所谓“十字架”，其实可以简单理解为两条垂直的线段。 2、 模型特征：两条线段相互垂直。 3、 思想方法： 1、全等三角形的性质与判定 2、相似三角形的性质与判定 3、矩形和正方形的性质与判定 4、图形的变换--轴对称 4、 解题思路：①“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。 ②矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 模型展示 模型1.正方形的十字架模型（全等模型） 1）模型推论：AE=BF； 条件：如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF。（若垂直则相等） 【证明】∵四边形ABCD是正方形； ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90° ∴∠CBF+∠BFC=90° ∵AE⊥BF ∴∠CBF+∠AEB=90° ∴∠BFC=∠AEB 在△ABE和△BCF中 ∵ ∴△ABE≌△BCF（ASA） ∴AE=BF，结论成立 2）模型推论：AE⊥BF； 条件：如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE=BF。（若相等则垂直） 【证明】∵四边形ABCD是正方形； ∴AB=BC，∠ABC=∠C=90° 在Rt△ABE和Rt△BCF中 ∵ ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL） ∴∠BAE=∠CBF ∵∠CBF+∠ABG=∠ABC=90° ∴∠BAE+∠ABG=∠AGF=90° ∴AE⊥BF 3）模型说明 （1） 正方形的十字架模型的本质是三角形全等。 （2） 常见的正方形的十字架模型还有如下如下两种情形： ①条件：如图，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。 ②如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则 HE=GF。 模型2.矩形的十字架模型（相似模型） 1）模型推论： 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC。 【证明】∵四边形ABCD是矩形 ∴∠DAE=∠CDA=90° ∴∠CDE+∠EDA=90° ∵DE⊥AC ∴∠DCA+∠CDE=90° ∴∠DCA=∠ADE ∴△CDA∽△DAE ∴ 2） 模型说明 （1） 矩形的十字架模型的本质是三角形相似 （2） 常见的矩形的十字架模型还有如下两种情形： 条件：如图，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 条件：如图，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 经典例题精析 【经典例题】 【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证AF＝BG； 【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P．求的值； 【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BDC＝120°，DB＝DC，点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P．请直接写出的值． 典型例题 例1、如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 例2、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED＝2α，则∠AGD的度数为（　　） A．90﹣α B．90+α C．90+2α D．90﹣2α 例3、如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　） A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α 例4、如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 例5、如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝