7.3.5 已知三角函数值求角-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

7.3.5　已知三角函数值求角 　　在大海中航行需要正确地计算航行的方向,需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识,本节将学习已知三角函数值求角。 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法。 2.了解符号arcsin x、arccos x、arctan x的含义,并能用这些符号表示非特殊角。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P035 　 知识点、已知三角函数值求角的相关概念 　　1.已知正弦值求角 对于正弦函数y=sin x,在区间内,满足sin x=y(y∈[-1,1])的x只有一个,这个x记作arcsin y,即x=arcsin y。  2.已知余弦值求角 对于余弦函数y=cos x,在区间[0,π]内,满足cos x=y(y∈[-1,1])的x只有一个,这个x记作arccos y,即x=arccos y。  3.已知正切值求角 在区间内,满足tan x=y(y∈R)的x只有一个,这个x记作arctan y,即x=arctan y。  微提醒 　　根据三角函数值求任意范围内的角,应结合三角函数的图像或诱导公式求解,再由周期性表示所求范围内的角。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P035 　 类型一 已知特殊角的三角函数值求角 　　【例1】　求满足下列条件的角x的取值集合。 (1)cos x=-,x∈[0,2π]; (2)已知sin=,x∈R。 解　(1)因为余弦函数y=cos x在上不是单调函数,且符合cos x=-,x∈[0,2π]的角x的终边落在第二象限或第三象限,所以x的取值有两个。因为cos=-,cos=-,所以x的取值集合为。 (2)因为>0,所以x+是第一或第二象限角。又sin=,sin=sin=,即在区间[0,2π)内有x+=或x+=,所以x=或x=。故在R上符合条件的角x的取值集合为xx=+2kπ或x=+2kπ,k∈Z。 　　已知三角函数值求角的方法 (1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限。 (2)根据角的终边所在象限,由诱导公式得出[0,2π)内的角。若满足已知条件的角是第二象限角,则它等于π-α;若满足已知条件的角是第三或第四象限角,则它等于π+α或2π-α。 (3)若要在整个实数集上求满足条件的角的集合,则利用终边相同的角的表达式来写出 【变式训练】　已知tan x=-,则x∈-,时,角x的值为　　　　。  解析　因为tan x=-<0,x∈,所以x∈-,0,所以x=-。 答案　- 类型二 三角不等式的求解 　　【例2】　已知f(x)=tanx+。 (1)已知f(x)=,求x; (2)解不等式f(x)≥。 解　(1)tanx+=>0, 单位圆中角x+对应的正切线向上,且长度为,如图,角x+的终边为OT或OT'。 因为tan=tanx+=, 所以x+=+kπ,k∈Z。 即x=+2kπ,k∈Z。 (2)由(1)及三角函数线知+kπ≤x+<+kπ,k∈Z, 解得+2kπ≤x<+2kπ,k∈Z, 所以原不等式的解集为x+2kπ≤x<+2kπ,k∈Z。 　　(1)在角x对应的三角函数图像中取一个周期内满足条件的连续的一段,写出满足条件的x的范围,再加上周期的整数倍即可。特别地,当定义域不是R时,要注意所求范围与定义域取交集。 (2)当z=ωx+φ时,根据三角函数线或三角函数图像解关于z的三角函数不等式,得到z的取值范围,然后求解x的取值范围 【变式训练】　解下列不等式: (1)sin x≥; (2)tan≥。 解　(1)解法一:正弦函数y=sin x的图像如图所示。故不等式的解集为 。 解法二:单位圆中的三角函数线如图所示,故不等式的解集为 x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z。 (2)因为f(x)=tan,所以由f(x)≥可得tan≥,即+kπ≤2x+<+kπ,k∈Z,解得+≤x<+,k∈Z。故使f(x)≥成立的解集为(k∈Z)。 类型三 已知非特殊角的三角函数值求角 　　【例3】　(1)已知sin x=,x∈[0,π],求满足条件的角x的取值集合; (2)已知tan x=2,x∈(-π,π),求满足条件的角x的取值集合。 解　(1)因为sin x=>0,x∈[0,π],所以x为第一或第二象限角,且sin x=sin(π-x)=。 所以在[0,π]上符合条件的角有x=arcsin或x=π-arcsin,所以角x的取值集合为xx=arcsin或x=π-arcsin。 (2)因为正切函数在上是递增函数,且tan x=2,所以符合条件的角有且只有一个,即x=arctan 2。 又因为x∈(-π,π),tan x>0, 所以x∈或x∈, 所以x有两个值为arctan 2-π或arctan 2。 所