第3章 随机变量的联合概率分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（人邮版）

第三章随机变量的联合概率分布 工二二二二王二二二二主二 3.1二维随机变量 3.2分布律 3.3随机变量及其分布函数 3.4随机变量的独立性与条件分布 3.5n维随机变量 上页 返回 31二维随机变量 工二二二二二二二二二二二 定义3.1设X,Y是随机变量，则称向量(X,)为二维随 机变量或二维随机向量。 定义3.2设(X,Y为二维随机变量，则称 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y} 某郸罐警量心，Y)视为平面上随机，点的坐标， 则分布函数F(y)在，点（区，y)处的函数值就是随机点落在 以点（区，）为顶点且位于该，点左下方的无界矩形域内的 概率. 上页 区回 二维随机变量联合分布函数的性质 工二二二二二二二二二二二 性质1Fc,y)分别关于x和y单调不减. 证明：对于任意x<x2,因为X≤x,Y≤y)C(X≤x2,Y≤y) 所以P(X≤x,Y≤y)≤P(X≤x2,Y≤y) 即F(x,y)≤F(x2,y) 同理，对于任意y<y2,有F(x,y)≤F(x,y2) F(-oo,-o0)=lim F(x,y)=0;F(+o,+oo)=lim F(x,y)=1 x-)十00 →-00 y→+00 F(x,-00)=lim F(x,y)=0;F(-o,y)=lim F(x,y)=0 性质3Fxy)关于x右连续，关于y右连续. 性质4设x<x2,y<y,则 P{x<X≤x2,y<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x,y2)-F(x2,y)+F(x,y) 注：如果一个二元函数具有上述四条性质，则该函数一 定可以作为某个二维随机变量的分布函数. 上页 下页 返回 例3.1已知二维随机变量X,)的分布函数为 F(x,)=A(B+arctanx)(C+arctany) 求常数A,B,C 解：limF(x,y)=limA(B+arctanx)(C+arctany) x→+00 x→+00 y→+00 y→+0∞ =48+2C-2- lim F(x,y)=lim A(B+arctanx)(C+arctan y) →-00 -4(B-X(C+arcta lim F(x,y)=lim A(B+arctan x)(C+arctany) -00 元M8+C-3-0 解得1-8-C- 上页 回 工二二二二王二二二二主二 本节结束 上页 下页 返回 3.2分布律 工二二二二王二二二二主二 定义3.3若二维随机变量的所有可能取值为有限对 或可列无限多对时，则称为二维离散型随机变量. 定义3.4设为二维离散型随机变量(X,Y)的取值为x,y,), i,j=1,2,…,且 P{X=x,Y=yj}=Pj,(i,j=1,2,) 称X,Y)的联合分布律 注1：设(X,Y为离散型随机变量则其分布律满足： 10P≥0，(，j=1,2,…) 2∑ΣP 上页 返回 注2：二维随机变量区，)的分布律可以用如下的表格 来表示，称为联合概率分布表 主二二二二二二二二主 表3.1联合概率分布表 X 为 P11 P12 Pa Pn paj x Pa Pa 上页 下页 返回 定义3.5称 P{X=x}=∑PX=x,Y=y3 为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律记∑P,=P,则 P{X=x}=P,(i=1,2,） 类似地，二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律 P{Y=y}=∑P,=p,(U=1,2,) 注3：二维随机变量（区，）关于x和关于y的边缘分布律放在 联合概率分布表中， 表3.2 X yy" P(X=x} P11 P11 Py 习列 P21 P21 P“ 2别 .: x PaPa 2 P(Y=y} 2Pa2Pa“ Σ，“ 1 回 例3.2箱子中装有10件产品，其中4件是次品，6件是正 品，不放回地从箱子中任取两次产品，每次一个.定义随 工十二二二二二二二二二二土 机变量 第二次取到的是次品 X= 0，第一次取到的是次 y=0 ,第一次取到的是正品 ，第二次取到的是正品 求X,)的分布律以及分布函数， 2-5 犀PK=0,Y==PX=oPy=0K=0X号 10 P{X=0,Y=1}=PX=0}P{Y=1X=0}= 69 4 15 4 P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0X=1}= 4 15 P{X=1,Y==P{X=1}PY=1X-1}=