2024年上海市1月春考数学试卷

2024上海春考数学试卷（独家整理发布） 一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.的定义域_______. 2.直线 的倾斜角_______. 3.已知,则_______. 4. 展开式中 的系数为______. 5.三角形ABC中，,则 6.已知的最小值为_______. 7.数列的取值范围为_______. 8. 三角形三边长为,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 9.已知,求的的取值范围_______. 10.已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且,求异面直线与的夹角_______. 11.正方形草地边长到距离为到距离为0.4,有个圆形通道经过,且经过上一点,求圆形通道的周长_______.(精确到0.01) 12.,任意,满足,求有序数列有_____对. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13.,下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 14.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线,则下列说法中正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 15.有四种礼盒,前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋,第四个礼盒里面三种礼品都有,现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ） A.事件与事件B互斥 B.事件A与事件B相互独立 C.事件与事件BUC互斥 D.事件与事件相互独立 16.现定义如下:当时,若,则称为延展函数. 现有,当时,与均为延展函数,则以下结论( ) (1)存在与有无穷个交点 (2)存在与有无穷个交点 A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立. 三、解答题（本大题共5题，共分） 17.已知 (1)设,求解:的值域; (2)的最小正周期为,若在上恰有3个零点,求的取值范围. 18.如图,、、为圆锥三条母线,. (1)证明:； (2)若圆锥侧面积为为底面直径,, 求二面角的大小. 19. 水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。 (1)随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率; (2)进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱; (3)抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量. 20.在平面直角坐标系中,已知点为椭圆上一点,、分别为椭圆的左、右焦点。 (1)若点的横坐标为2,求的长; (2)设的上、下顶点分别为、,记的面积为的面积为,若,求的取值范围 (3)若点在轴上方,设直线与交于点,与轴交于点延长线与交于点,是否存在轴上方的点,使得成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 21.记 (1)若,求和; (2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得. (3)已知定义在上有最小值,求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数,均有”. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024上海春考数学试卷解析（独家整理解析） 一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.的定义域_______. 【考点】函数定义域 【答案】 2.直线 的倾斜角_______. 【考点】直线的倾斜角 【答案】 【解析】 3.已知,则_______. 【考点】夏数 【答案】 4. 展开式中 的系数为______. 【考点】二项式展开 【答案】15 【解析】 5.三角形ABC中，,则 【考点】解三角形 【答案】 【解析】在三角形中 由正弦定理,解得 6.已知的最小值为_______. 【考点】基本不等式 【答案】12 【解析】由当且仅当, 即或时取最小值12. 7.数列的取值范围为_______. 【考点】等差数列 【答案】 【解析】由,知数列为等差数列..故的取值范围为. 8. 三角形三边长为,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【考点】双曲线的定义、离心率 【答案】3 【解析】由双曲线的定义, 9.已知,求的的取值范围_______. 【考点】分段函数运算 【答案】 【解析】根据题意知 所以当时,,解得 同理当时,,解得 综上所述: 10.已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且,求异面直线与的夹角_______. 【考点】立体几何线线角 【答案】 【解析】 11.正方形草地边长到距离为到距离为0.4,有个圆形通道经过,且经过上一点,求