第二章2.1.2两条直线平行和垂直的判定-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行与垂直的判定方法．　2.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直． 授课提示：对应学生用书第53页 预习教材，思考问题 问题1　是否总有l1∥l2⇔k1＝k2? 问题2　是否总有l1⊥l2⇔k1k2＝－1? 问题3　解决直线平行或垂直问题时，需注意什么？　　　 [预习自测] 1．过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　 B．平行 C．重合 D．以上都不对 解析：由题意得过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线为y＝5，与直线y＝3的斜率都为0且不重合，所以平行． 答案：B 2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 解析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. ∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根， ∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2. 答案：D 3．直线x＝1与直线x＝3的位置关系为__________． 解析：由图可知，两直线平行． 答案：平行 4．直线x＝2与直线y＝2的位置关系为__________． 解析：由图可知，直线x＝2与直线y＝2垂直． 答案：垂直 授课提示：对应学生用书第53页 　直线的平行(两条直线平行) 如图，若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k1＝k2.因此，若l1∥l2，则k1＝k2． 反之，当k1＝k2时，tan α1＝tan α2，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，α1＝α2，因此l1∥l2． 于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2．(若没有特殊说明，则“两条直线l1，l2”指两条不重合的直线) [例1]　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)直线l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，直线l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； (3)直线l1平行于y轴，直线l2经过点P(0，－2)，Q(0，5). 分析：先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行． [解]　(1)由题意知，直线l1的斜率k1＝＝－，直线l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行． (2)由题意知，直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行． (3)由题意知，直线l1的斜率不存在，且不是y轴，直线l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2. 　判断两条直线是否平行的步骤是先判断两条直线的斜率是否都存在，即先看两点的横坐标是否相等，横坐标相等是特殊情况，应特殊判断；若都存在，再判断两条直线的斜率是否相等；若相等，还需要利用数形结合的方法判断两条直线是否重合． 1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提：两条直线l1，l2的斜率均存在(如图). 2．当直线的斜率都不存在且不重合时，直线l1，l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2(如图). 3．当l1∥l2时，它们的斜率可能都存在且相等，也有可能斜率都不存在，但它们的倾斜角总是相等的． 　1.已知▱ABCD的其中三个顶点是A(1，1)，B(－2，3)，C(0，－4)，则点D的坐标是__________． 解析：设D(x，y). 由题意知，AB∥CD，AD∥BC，且x≠0，x≠1，则kAB＝kCD，且kAD＝kBC， 即解得 故点D的坐标为(3，－6). 答案：(3，－6) 2．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1).若AB∥MN，则m的值为多少？ 解：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，两条直线不重合． 综上，m的值为0或1. 　直线的垂直(两条直线垂直) 如果两条直线都有斜率，且它们相互垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1k2＝－1． [例2]　判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点