主题二 第二章 第4节 幂函数与二次函数-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教学课件PPT（新教材，人教B版）

第4节　幂函数与二次函数 数学 课程标准要求 2.理解二次函数的图像和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 数学 必备知识·课前回顾 关键能力·课堂突破 数学 必备知识·课前回顾 回归教材 夯实四基 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数 称为幂函数,其中x是自变量,α为 . y=xα (2)五种幂函数的图像: 常数 数学 (3)五种幂函数的性质: 函数 性质　　 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈ 时,增; x∈ 时,减 增 增 x∈(0,+∞)时,减; x∈ 时,减 (0,+∞) (-∞,0] (-∞,0) 数学 释疑 1.幂函数y=xα在第一象限内的两个重要结论 (1)恒过点(1,1). (2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大. 2.两个幂函数的图像最多只有3个交点(如y=x,y=x3的图像). 数学 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ax2+bx+c(a≠0) a(x-m)2+n(a≠0) a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 数学 (2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质 数学 重要结论 (2)二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称(a为常数). 数学 对点自测 1.(新教材习题改编)已知幂函数f(x)=xa(a∈R)的图像过点(16,2),若f(m)=3,则实数m的值为(　 　) A.9 B.12 C.27 D.81 D 数学 解析:令x=2,结合图像有2a<2c<2b,所以a<c<b.故选D. 2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限内的图像,则a,b,c的大小关系为 (　 　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b D 数学 解析:由二次函数y=x2+bx+c图像的对称轴是直线x=2,且开口向上,可知f(2)是最小值,f(1)=f(3)<f(4),所以f(2)<f(1)<f(4).故选C. 3.二次函数y=x2+bx+c图像的对称轴是直线x=2,则有(　 　) A.f(1)<f(2)<f(4) B.f(2)<f(4)<f(1) C.f(2)<f(1)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(1) C 数学 4.若二次函数y=mx2+2x+1的图像恒在x轴上方,则实数m的取值范围是　　　　. 答案:(1,+∞) 数学 解析:因为f(x)有最大值,所以a<0.又|a|=1,所以a=-1.由题意得点(1,4)是抛物线的顶点.所以所求抛物线的解析式为f(x)=-(x-1)2+4,即f(x)=-x2+2x+3. 5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x=1时,f(x)有最大值4,且|a|=1,则它的解析式为　　　　.  答案:f(x)=-x2+2x+3 数学 考点一 幂函数的图像与性质 关键能力·课堂突破 类分考点 落实四翼 1.已知函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q),在下列函数图像中,不是函数y=f(x)图像的是(　 　) C 解析:函数f(x)=xk(k为常数,k∈Q)为幂函数,图像不经过第四象限,所以C中函数图像不是函数y=f(x)的图像.故选C. 数学 D 数学 C 解析:因为(m-1)2=1,所以m=0或2.当m=0时,f(x)=x2,此时函数f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增,当m=2时,f(x)=x-2,不满足题意.故选C. 数学 D 数学 题后悟通 1.求解与幂函数图像有关的问题,应根据幂函数在第一象限内图像的特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究. 2.比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质比较,若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小,若不同底数、指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较. 注意:研究幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性、定义域、值域时,若α是分数时,一般先将其化为根式,再求解. 数学 考点二 二次函数的解析式 例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 数学 数学 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的