专题09 填空压轴题-备战2022年新高考之湖南高考数学模拟题分类汇编

专题09 填空压轴题 1．（2021•湖南模拟）已知点为棱长是2的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为　 　． 【答案】 【详解】如图，正方体的内切球的半径， 由题意，取的中点，连接，则，， 所以平面， 所以动点的轨迹是平面截内切球的交线， 也即平面截内切球的交线， 因为正方体的棱长是2， 所以到平面的距离为， 截面圆的半径， 所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长为． 故答案为：． 2．（2021•湖南模拟）在三棱锥中，平面，，，．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为 　 　；若点、分别是与的重心，直线与球表面相交于、两点，则线段长度为 　 　． 【答案】 【详解】因为三棱锥中，平面，，，， 所以将三棱锥放入一个棱长为1的正方体中， 则正方体的外接球即为三棱锥的外接球， 因为正方体的体对角线即为其外接球的直径， 所以外接球的半径为； 以点为坐标原点，，，过点的侧棱所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则有，球心， 所以， 所以， 则有， 所以， 则根据圆的弦长公式可得． 故答案为：． 3．（2021•湖南模拟）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心，已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为　 　． 【答案】 【详解】如图，设的中点为， 则 ，又， 所以，由知，为锐角， 故 ，当且仅当，即时，等号成立， 由在上的单调递减，此时最大， 且有，即为直角三角形， 所以内切圆半径． 故答案为：． 4．（2021•湖南模拟）已知双曲线的离心率为2，且双曲线与椭圆有相同的焦点．点在双曲线上，过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为　 　． 【答案】 【详解】由题意可得，则．． 故双曲线的方程为． 其渐近线方程为． 设点，，过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，， 设，，则，， 故． 因为点在双曲线上．所以．则． 因为渐近线的倾斜角为． 所以，故． 在中，由余弦定理可得， 当且仅当时等号成立，则，即的最小值为． 故答案为：． 5．（2021•湖南模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是　 　． ①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形； ②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形； ③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为； ④三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为． 【答案】①②③ 【详解】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为，，，与之对应的长方体的长宽高分别为，，， 则， 故，，， 结合图像易得①②正确； 三组对棱长度分别为，，，则，，， 因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积， 所以等腰四面体的体积，③正确； 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径，④错误． 故答案为：①②③． 6．（2021•永州二模）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”． （1）设，则在上的“新驻点”为 　 　． （2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是 　 　． 【答案】（1），（2） 【详解】（1）根据题意，，其导数， 若，即，则有， 又由，则， 即在上的“新驻点”为， （2）函数，其导数， 若，即， 函数的“新驻点”为，则有， ，则， 若，即， 的“新驻点”分别为，则有， 分析可得：， 则有； 故答案为：（1），（2）． 7．（2021•岳麓区校级二模）设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，，，则： ①的取值范围是　 　； ②的取值范围是　 　． 【答案】①；② 【详解】当，单调递减，作出函数的图象，如图所示， 由图可知，当时，恰有三个互不相等的实数根，，， 不妨设，易知，且， ， 令，解得（舍去）或． ， ． 故答案为：①；②． 8．（2021•湖南模拟）电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数可以表示成二进制数，即，其中，，，，1，2，，，．用表示十进制数的二进制表示中1的个数，则（7）　 　；对任意，　 　． 【答案】3， 【详解】因为，所以（7）， 设，， 则使得的有个， 所以． 故答案为：3，． 9．（2021•湖南模拟）已知点是等边外一点，且点在所在平面内的射影恰好在边上，若的边长为2，三棱锥的外接球体积为，则三棱锥体积的最大值