精讲07 复数-【学业水平备考系列】2021-2022学年高中学业水平考试精讲+精测(山东专版)

精讲07 复数 [知识必备] 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝ 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3.复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法： (c＋di≠0). [题型精讲] 题型一　复数的概念 例1　（2021·山东菏泽月考）若则的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先化简复数，最后根据复数虚部概念得结果． 【详解】 则选：B． 例2　（2021·山东滨州·高一期末）已知复数是纯虚数，则实数（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】 利用纯虚数的性质可得的值. 【详解】 ，因为为纯虚数且为实数， 故，故， 故选：D 例3　（2021·山东师范大学附中高一月考）若，其中，i为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A．1 B．i C． D． 【答案】C 【分析】 由于，求得且，得到复数，结合复数的概念，即可求解. 【详解】 由于，则且， 所以，所以复数的虚部为. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的概念及其应用，属于基础题. [题型精练] 1. （2021·山东省济南市莱芜第一中学高一月考）已知复数，则复数的虚部为（ ）. A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【详解】 复数，故虚部为-1. 故选：A 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 2．（2021·山东·高一期中）已知复数是纯虚数，则实数a＝（　　） A．﹣2 B．6 C．﹣6 D．4 【答案】B 【分析】 本题考查复数的除法运算，以及对复数分类的实部、虚部讨论. 【详解】 已知复数为纯虚数，则实部为零虚部不为零．则， 故选B. 【点睛】 复数的代数形式，为实部，为虚部.实部为零虚部不为零，则复数是纯虚数. 3．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一月考）是虚数单位，若复数，则的虚部为（ ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】 利用复数的代数形式的运算法则直接求解． 【详解】 解：是虚数单位， 复数， 的虚部为． 故选：． 【点睛】 本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 题型二　复数的几何意义 例4　（2021·山东·齐河县第一中学高一月考）设，则复数在复平面内对应的点的坐标为__________． 【答案】 【分析】 由已知条件求出，结合复数的加减法运算法则对所求复数进行整理，从而可求出对应点坐标. 【详解】 解：因为，所以，所以， 则复平面内对应的点的坐标为， 故答案为: [题型精练] 1．（2021·山东·枣庄八中高一开学考试）在复平面内，复数对应的点为(2，2)，复数对应的点为(1，1)，复数，则对应的点在第_______象限. 【答案】四 【分析】 根据复数的几何意义，可得，进而得到，得出复数对应的点的坐标，即可求解. 【详解】 由题意，复数对应的点为(2，2)，复数对应的点为(1，1)， 可得，所以复数， 所以复数对应的点的坐标为位于第四象限. 故答案为：四. 【点睛】 本题主要考查了复数几何意义，以及复数的运算的应用，其中解答中熟记复数的表示和复数的几何意义是解答的关键，意在考查推理与运算能力，属于基础题. 2．（2021·山东泰安·高一期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限