沪教版（上海）数学高二上册-7.2 等差数列前n项和公式 教案

等差数列前 项和公式 【教材分析】 本节课教学内容是《上海高中数学基础型课程》中第七章的第二节“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过公式推导的过程学习，可以让学生进一步体会从特殊到一般的研究问题方法。 【学情分析】 在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础．高斯的算法与一般的等差数列求和还是有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。 【教学目标】 1、掌握并能应用等差数列的前 项和的公式； 2、理解等差数列的前 项和的公式的推导过程与方法； 3、体验从特殊到一般的研究方法，体会数形结合的数学思想，培养学生观察、分析、联想、归纳、推理的能力。 【教学重点】 等差数列的前 项和的公式的推导及简单应用。 【教学难点】 等差数列的前 项和的公式的推导过程。 【课堂流程】 【教学实录】 一、引入 前几节课我们学习了等差数列的定义、通项公式，研究了等差数列的一些基本性质, 这节课我们将继续研究等差数列的问题——等差数列的前 项和。 两百多年前，著名数学家高斯的算术老师提出了下面的问题： ？ 少年时的高斯用下面的方法迅速算出了正确的答案： . 高斯解决的问题实际上就是求等差数列： 前100项的和的问题。 用高斯的方法，我们继续求解： ？ ？ 学生会采用“化归”、“分类讨论”等思想方法： ； 学生板书、交流： 为偶数时， ； 为奇数时， . 即 二、探究 教师肯定学生方法，并提问：运用我们已经学过的知识与方法，避免用讨论的方法来解决这个问题？ 令 ， 又 . 以上两式相加， 化简得： ——“倒序相加” 如果学生的抽象思维达不到上述要求，可以先给出以下例子为铺垫： 如图，有一堆钢管，最上一层有4根，往下每一层都比上一层多一根，最下面一层有11根，问这队钢管共有几根？ 归纳为等差数列问题：首项 ， ，求 . 教师引导：给出的图示，你得到怎样的启示？（PPT演示） 三、新课 若数列 ，求 ——称为数列 的前 项和，用 表示，即 . 利用“补形”的思想方法，解决等差数列的前 项和： 结合上节课学过的等差数列的性质:如果 时， ，不难得到 ，即 ——等差数列前 项和公式。 上述推导公式的方法在解决数列问题中经常会用到，我们形象地称其为“倒序相加”。 结合等差数列的通项公式 ，等差数列前 项和公式又可以写成 。 引导学生归纳等差数列前项和公式的特征： ——“倒序相加”，与“铺垫例子”中的“形”比较，强化“补形法”解决数学问题的思想； ——公式的另一种形式，体现等差数列基本量： . 四、例题解析 根据下列各题条件，求等差数列 的未知量： (1) 已知 ，求 、 ； ， EMBED Equation.3 . (2) 已知 ，求 ； EMBED Equation.3 ， . 等差数列通项公式与求和公式中共有 五个基本量，如果已知其中三个，就可求其余两个——等差数列的“知三求二”问题。通过公式运用，促进学生建立方程（组）思想。 五、课堂练习 根据下列各题条件，求等差数列 的未知量： (1) 已知 ，求 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (舍去) . (3) 已知 ，求 . 六、归纳小结 1、等差数列前 项和公式： EMBED Equation.3 2、体会从特殊到一般的研究方法； 3、体会“倒序相加”的一种数列求和思想方法。 【教后反思】 学习是学生积极主动地建构知识的过程，让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，在教师的引导下自主地建构新知识．在教学过程中，根据教学内容，从高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到等差数列的前 项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习． 由� EMBED Equation.3 ���引入 （高斯数） � EMBED Equation.3 ��� 实例演示 倒序相加法 � EMBED Equation.3 ��� 公式变形与应用 （加深理解） 归纳小结 类比探究等差数列前� EMBED Equation.3 �